拋物線及其標準方程教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念．

B.掌握拋物線的標準方程及其推導過程．

C.明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題．

D.拋物線的簡單應用

1.數(shù)學抽象：拋物線的定義

2.邏輯推理：拋物線標準方程的推導

3.數(shù)學運算：根據(jù)條件求拋物線標準方程

4.直觀想象：拋物線的定義的運用

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

我們已經(jīng)學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線，今天我們類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法，研究另一類圓錐曲線——拋物線．

如圖，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)，直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣，把一根繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上點A，截取繩子的長等于A到l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直角尺左右滑動，這樣鉛筆就畫出了一條曲線，這條曲線就叫做拋物線．

1.拋物線的定義

究

概念形成

比較橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為如何建立坐標系，可能使所求拋物線的方程形式簡單？

同橢圓雙曲線的情形一樣，下面我們用坐標法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出拋物線的標準方程。如圖為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，此時，拋物線的焦點為

設M 是拋物線上一點，則M到F的距離為則M到直線的距離為,

所以=

上式兩邊平方，整理可得=2 ①

建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選擇不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程。拋物線的標準方程有哪些不同的形式？請?zhí)骄恐筇顚懴卤?/p>

2．拋物線的標準方程

1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“”)

(1)平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡一定是拋物線． ( )

(2)y＝4x2的焦點坐標為(1,0)． ( )

(3)以(0,1)為焦點的拋物線的標準方程為x2＝4y． ( )

[提示] (1) (2) (3)√

2．拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是( )

A．1 B．2 C．4 D．8

C [由y2＝8x得p＝4，即焦點到準線的距離為4.]

3．拋物線x＝4y2的準線方程是( )

A．y＝ B．y＝－1

C．x＝－ D．x＝

C [由x＝4y2得y2＝x，故準線方程為x＝－.]

4．拋物線y＝4ax2(a∈R且a≠0)的焦點坐標為________．

[把方程化為標準形式為x2＝y(tǒng)，

所以焦點在y軸上，坐標為.]

二、典例解析

例1. 分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．

(1)準線方程為2y＋4＝0；

(2)過點(3，－4)；

(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．

[思路探究] →

→→.

[解] (1)準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，

故拋物線焦點在y軸的正半軸上，

設其方程為x2＝2py(p＞0)．又＝2，

∴2p＝8，故所求拋物線的標準方程為x2＝8y.

(2)∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，

設拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．

把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，

得(－4)2＝2p3,32＝－2p1(－4)，即2p＝，2p1＝.

∴所求拋物線的標準方程為y2＝x或x2＝－y.

(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.

∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15,0)．

∴所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x.

1．用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟

2．求拋物線的標準方程時需注意的三個問題

(1)把握開口方向與方程一次項系數(shù)的對應關系；

(2)當拋物線的位置沒有確定時，可設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數(shù)；

(3)注意p與的幾何意義．

跟蹤訓練1．根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程：

(1)準線方程為y＝；

(2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5；

(3)經(jīng)過點(－3，－1)；

(4)焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標軸的交點．

[解] (1)因為拋物線的準線交y軸于正半軸，且＝，

則p＝，所以所求拋物線的標準方程為x2＝－y.

(2)已知拋物線的焦點在y軸上，可設方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.

(3)∵點(－3，－1)在第三象限，

∴設所求拋物線的標準方程為

y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．

若拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)，

則由(－1)2＝－2p(－3)，解得p＝；

若拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)，

則由(－3)2＝－2p(－1)，解得p＝.

∴所求拋物線的標準方程為y2＝－x或x2＝－9y.

(4)對于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；

令y＝0，得x＝4，

∴拋物線的焦點為(0，－3)或(4,0)．

當焦點為(0，－3)時，＝3，

∴p＝6，此時拋物線的標準方程為x2＝－12y；

當焦點為(4,0)時，＝4，

∴p＝8，此時拋物線的標準方程為y2＝16x.

∴所求拋物線的標準方程為x2＝－12y或y2＝16x.

例2. 一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m．

（1）試建立適當?shù)淖鴺讼担髵佄锞€的標準方程和焦點坐標．

（2）為了增強衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，

求此時星波束反射聚集點的坐標．

典例解析

解：（1）以頂點為原點，焦點所在直線為x軸，建立直角坐標系xOy，

設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），

代入點（0.5，2.4），可得2.42＝2p?0.5，

解得p＝5.76，即拋物線的方程為y2＝11.52x，

焦點為（2.88，0）；

（2）設拋物線的方程為y2＝2mx（m＞0），

代入點（0.5，2.6），可得2.62＝2m?0.5，解得m＝6.76，

即有拋物線的方程為y2＝13.52x，焦點為（3.38，0）．

求解拋物線實際應用題的步驟

跟蹤訓練2.一輛卡車高3 m，寬1.6 m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，如圖所示，已知拱口寬AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口寬為a m，求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值．

[解] 以拱頂O為原點，拱高OD所在直線為y軸，建立直角坐標系，如圖所示．

設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)．

∵AB是OD的4倍，∴點B的坐標為.

由點B在拋物線上，得＝－2p，

∴p＝.∴拋物線方程為x2＝－ay.

設點E(0.8，y0)為拋物線上一點，

代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，

∴y0＝－，

∴點E到拱底AB的距離h＝－|y0|＝－，

令h＞3，則－＞3，

解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．

∴a的最小整數(shù)值為13.

類比橢圓和雙曲線的學習，制定研究路線圖。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過拋物線標準方程的推導，進一步體會數(shù)形結合的思想方法。發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，熟練掌握根據(jù)條件求拋物線的方法，提升學生數(shù)學建模，數(shù)形結合，及方程思想，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．準線與x軸垂直，且經(jīng)過點(1，－)的拋物線的標準方程是( )

A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y

B [由題意可設拋物線的標準方程為y2＝ax，則(－)2＝a，

解得a＝2，因此拋物線的標準方程為y2＝2x，故選B.]

2．過點A(3,0)且與y軸相切的圓的圓心軌跡為( )

A．圓 B．橢圓 C．直線 D．拋物線

D [由題意可知，動圓的圓心到點A的距離與到直線y軸的距離相等，滿足拋物線的定義，故應選D.]

3．設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是________．

6 [由拋物線的方程得＝＝2，再根據(jù)拋物線的定義，

可知所求距離為4＋2＝6.]

4．如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米

2 [建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為x2＝－2py，則點(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當y＝－3時，x2＝6，所以水面寬為2米．

5．若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點M，其橫坐標為－9，它到焦點的距離為10，求點M的坐標．

[解] 由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦點坐標為F，準線方程為x＝.設點M到準線的距離為d，則d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.

由點M(－9，y)在拋物線上，得y＝6，故點M的坐標為(－9,6)或(－9，－6)．

6.若位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點M的軌跡方程．

[解]由于位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比

它到y(tǒng)軸的距離大，

所以動點M到F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等．

由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，

l為準線的拋物線(不包含原點)，

其方程應為y2＝2px(p＞0)的形式，

而＝，所以p＝1,2p＝2，

故點M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0)．

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。